\documentclass[11pt]{article}
%\usepackage[8859-8]{inputenc}
\usepackage[english,hebrew]{babel}
\usepackage{color}
%\usepackage{hebcal}
\usepackage{culmus}
\usepackage{courier}
\usepackage{ulem}
%\usepackage[HE8,OT1]{fontenc}
%\usepackage{ccfonts}
%\usepackage{float}
% \usepackage{color}
\usepackage{theorem}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{esvect}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epstopdf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-euclide}
\usetkzobj{all}
\usetikzlibrary{calc}
%\usepackage{url}
%\usepackage{listings}
%\usepackage{a4wide}
%\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
%\usepackage{graphicx,epsf}

%\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi}.}
\usepackage{amssymb,amsfonts,amsmath}
\usepackage{pgffor, ifthen}
\newcommand{\notes}[3][\empty]{%
	\noindent \vspace{10pt}\\
	\foreach \n in {1,...,#2}{%
		\ifthenelse{\equal{#1}{\empty}}
		{\rule{#3}{0.5pt}\\}
		{\rule{#3}{0.5pt}\vspace{#1}\\}
	}
}


\setlength{\textheight}{25cm}
% \setlength{\textwidth}{6.6in}
\setlength{\topmargin}{-0.8in}
% \setlength{\textwidth}{6.6in}
% \setlength{\textheight}{1.20\textheight}
% \setlength{\oddsidemargin}{-0.25in}
% \setlength{\evensidemargin}{-0.25in}


%% \newcounter{parnum}
%% \newcommand{\pg}{%
%%    \noindent\refstepcounter{parnum}%
%%     \makebox[\parindent][l]{\textbf{\arabic{parnum}.}}}
% Use a generous paragraph indent so numbers can be fit inside the
% indentation space.
\usepackage{a4wide}

\setlength{\parindent}{2em}

\setlength{\textheight}{24.5cm}
% \setlength{\textwidth}{6.6in}
\setlength{\topmargin}{-0.9in}
% \setlength{\textwidth}{6.6in}
% \setlength{\textheight}{1.20\textheight}
% \setlength{\oddsidemargin}{-0.25in}
% \setlength{\evensidemargin}{-0.25in}

\renewcommand*\rmdefault{david}

\newcommand{\setB}{{\mathord{\mathbb B}}}
\newcommand{\setC}{{\mathord{\mathbb C}}}
\newcommand{\setF}{{\mathord{\mathbb F}}}
\newcommand{\setN}{{\mathord{\mathbb N}}}
\newcommand{\setQ}{{\mathord{\mathbb Q}}}
\newcommand{\setR}{{\mathord{\mathbb R}}}
\newcommand{\setZ}{{\mathord{\mathbb Z}}}
\newcommand{\nk}[1] {\textcolor{red}{)#1 ð÷'(}}
\newcommand{\red}[1] {\textcolor{red}{#1}}
%
\newcommand{\br}[1]{\left[{#1}\right]} %square bracets
\newcommand{\brf}[1]{\left\{{#1}\right\}}%figure bracets


\newcommand{\mb}{\left[\begin{array}}
	\newcommand{\me}{\end{array}\right]}

\newcommand{\nik}[1] {){#1} ð÷'(}

\newcommand{\ooiint}{\mathop{{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}}
%\newfont{\ta}{telaviv at 12pt}
%\newfont{\tax}{telaviv at 10pt}
\def\eps{\varepsilon}
%\def\R{{\mathbb R}}
%
\pagestyle{plain} \pagenumbering{arabic}

\renewcommand{\labelenumii}{\alph{enumii}.}
\def\eps{\varepsilon}
%\newcommand{\setR}{{\mathord{\mathbb R}}}
\newcommand{\Matrix}{{\mathord{\left[\begin{array}{r}
				x \\ x \\ x  \\
			\end{array}\right]}}}
%
\pagestyle{plain} \pagenumbering{arabic}
%

\newcommand{\widesim}[2][2.5]{
	\mathrel{\overset{#2}{\scalebox{#1}[1]{$\sim$}}}
}

\newcommand{\bse}[1]{\left(\begin{array}{#1|c}}
\def \ese {\end{array}\right)}

\def\F{\vec{\bf F}}
\def\hatu {\hat{\mathbf{u}}}
\def\n{\hat{\bf n}}
\def\r{\vec{\bf r}}
\def\i{\hat{\bf i}}
\def\j{\hat{\bf j}}
\def\k{\hat{\bf k}}
\def\x{{\bf x}}
\def\y{{\bf y}}
\def\u{{\bf u}}
\def\v{{\bf v}}
\def\w{{\bf w}}
\def\z{{\bf z}}
\def\a{{\bf a}}
\def\b{{\bf b}}
\def\c{{\bf c}}
\def\d{{\bf d}}
\def\f{{\bf f}}
\def\p{{\bf p}}
\def\q{{\bf q}}
\def\e{{\bf e}}
\def\N{{\bf N}}
\def\0{{\bf 0}}
\def\C{{\rm  Col}}
\def\r{\rm  rank}
\def\-{\L{-}}

% \vskip 5cm
\def \image {\mathrm{Im}}
\def \ker {\mathrm{ker}}
\def\Nu{{\rm Nul}}
\def\l{\lambda}
\def\la{\langle}
\def\ra{\rangle}
\def\part{\partial}
\def \bd {\left|\begin{matrix}}
\def \ed {\end{matrix}\right|}
\def \bbm {\begin{bmatrix}}
	\def \ebm {\end{bmatrix}}
\def \sp {\mathrm{sp}}
\def \tr {\mathrm{tr}}
\def \rp {\mathrm{Re}}
\def \ip {\mathrm{Im}}
\def \cis {\mathrm{cis}}
\def \bm {\left(\begin{matrix}}
	\def \em {\end{matrix}\right)}
\def \usualop {áéçñ ìôòåìåú äøâéìåú}
\def \pageoflines {\notes[24pt]{18}{\textwidth}}
\def \answer {\textbf{ôúøåï:}}

\def \S {\mathcal{S}}

%\newtheorem{theorem}{Theorem}
\newtheorem{theorem}{\R{îùôè}}
\newtheorem{example}{\R{ãåâîä}}
%\newtheorem{question}{\R{ùàìä}}
\theorembodyfont{\fontfamily{david}\selectfont}\newtheorem{question}{\R{
		\fontfamily{david}\selectfont \textbf{ùàìä}}}
\theorembodyfont{\fontfamily{david}\selectfont}\newtheorem{solution}{\R{
		\fontfamily{david}\selectfont \textbf{ôúøåï}}}
%\newtheorem{remark}[theorem]{Remark}

%\newcommand{{ ùàìä}}{\noindent{\bf \R{ .ùàìä}}}
%------------------------------------------------------------------------





\begin{document}
%\fontfamily{david}\selectfont



\begin{center}
{\textbf{ \Large{
 îèìä îñ' 5 àìâáøä 1îç'  \L{11102} \\
\quad \\
ìà ìäâùä
}}
\\}

\end{center}
%
%\textbf{äòøä:}
%áîèìä æå îåúø ìäùúîù áëì èòðä ùäåëéçå áîèìåú ÷åãîåú.



\begin{enumerate}

\item
éäé 
$(V, \setF)$
îøçá å÷èåøé ëàùø 
$\dim V=n$
å 
$B=\{\v_1, \ldots, \v_n\}$ 
áñéñ ì $V$.
äåëéçå àå äôøéëå àú äèòðåú äáàåú. 
\begin{enumerate}
\item 
ìëì å÷èåø 
$\y\in V$ 
ä÷áåöä 
$\{\y+\v_1, \ldots, \y+\v_n\}$ 
áñéñ ì $V$.

%\answer 
%
%äèòðä àéðä ðëåðä. ð÷ç 
%$\y=-\v_1$ 
%åàæ ä÷áåöä 
%\[\{\y+\v_1, \ldots, \y+\v_n\}=\{-\v_1+\v_1, \ldots, -\v_1+\v_n\}=\{\0, \ldots, -\v_1+\v_n\}\]
%îëéìä àú å÷èåø äàôñ ìëï äéà àéðä áú"ì )ëîåáï äéà âí ìà áñéñ(.

\item 
ìëì ñ÷ìøéí 
$\alpha_1, \ldots, \alpha_n\neq 0$
ä÷áåöä
$\{\alpha_1 \v_1, \ldots, \alpha_n \v_n\}$	
áñéñ ì 
$V$.

%\answer
%
%ä÷áåöä
%$\{\alpha_1 \v_1, \ldots, \alpha_n \v_n\}$	
%îú÷áìú îäáñéñ $B$ òì éãé ñãøä ùì ôòåìåú àìîðèøéåú. ìôé èòðä, ôòåìåú àìîðèøéåú ìà îùðåú úìåú ìéðàøéú àå ôøéùä ùì ÷áåöä. ëìï
%$\{\alpha_1 \v_1, \ldots, \alpha_n \v_n\}$
% âí áñéñ ì $V$.

\item 
áñòéó äæä áìáã
$V=\setR^n$
îøçá å÷èåøé îòì äùãä 
$\setR$ 
\usualop\ 
å 
${B=\{\v_1, \ldots, \v_n\}}$
áñéñ ì 
$\setR^n$.
òáåø
$A\in \setR^{n\times n}$ 
îèøéöä îñãø 
$n\times n$
ä÷áåöä 
$\{A\v_1, \ldots, A\v_n\}$ 
áñéñ ì $V$ àí åø÷ àí 
$A$ 
äôéëä.


%\answer
%
%ðæëéø ëé 
%$A$ 
%äôéëä àí åø÷ àí 
%$\Nu(A)=\{\0\}$.
%
%\textbf{ëéååï 1:}
%ððéç ëé $A$ äôéëä.
%éäéå 
%$\alpha_1, \ldots, \alpha_n\in \setR $
%ëê ù
%\begin{align*}
%\alpha_1 A\v_1+\cdots +\alpha_n A\v_n=\0.
%\end{align*}
%ðåáò ëé 
%\[A(\alpha_1 \v_1+\cdots +\alpha_n \v_n)=\0.\]
%îëéååï ù 
%$A$ 
%äôéëä ðåëì ìäëôéì áùðé äàâôéí áîèøéöä äåôëéú 
%$A^{-1}$
%åð÷áì
%\[A^{-1}A(\alpha_1 \v_1+\cdots +\alpha_n \v_n)=I(\alpha_1 \v_1+\cdots +\alpha_n \v_n)=\alpha_1 \v_1+\cdots +\alpha_n \v_n=\0\]
%àáì $B$ áú"ì )ëé äåà áñéñ( ìëï
%$\alpha_1=\cdots=\alpha_n=0$.
%ðåáò ëé 
%$A\v_1,\ldots, A\v_n$
%áú"ì àáì 
%$\dim V=n$ 
%ìëï 
%$A\v_1,\ldots, A\v_n$
%îäååéí áñéñ ì 
%$V$.
%
%\textbf{ëéååï 2:}
%
%ððéç ù 
%$A\v_1,\ldots, A\v_n$
%îäååéí áñéñ ì 
%$\setR^n$.
%òì îðú ìäøàåú ù $A$ äôéëä, ðøàä ù
%$\Nu(A)=\{\0\}$.
%ìùí ëê, éäé 
%$\x\in \Nu(A)$.
%îëéååï 
%$B$
%áñéñ ì 
%$\setR^n$, 
%äéà ôåøùú àú 
%$\setR^n$.
%ìëï ÷ééîéí 
%$\beta_1, \ldots, \beta_n\in \setR$ 
%ëê ù 
%$\beta_1\v_1+\cdots+\beta_n \v_n=\x$.
%ðëôéì á 
%$A$ 
%åð÷áì 
%\begin{align*}
%&A(\beta_1\v_1+\cdots+\beta_n \v_n)=A\x=\0\\
%\implies & \beta_1A\v_1+\cdots+\beta_n A\v_n=\0.
%\end{align*}
%îëéååï ù 
%$\{A\v_1,\ldots, A\v_n\}$
%áñéñ ì 
%$\setR^n$ 
%äéà áú"ì. ðåáò ëé 
%$\beta_1=\cdots=\beta_n=0$. 
%îú÷áì ù 
%$\x=\beta_1\v_1+\cdots+\beta_n\v_n=\0$.
%ðåáò ëé 
%$\Nu(A)=\{\0\}$ 
%ìëï 
%$A$ 
%äôéëä.

\item 
éäéå 
$\a_1=\bm a_{11}\\ 0\\0\\0 \em, \a_2=\bm a_{12}\\ a_{22}\\0\\0 \em, \a_3=\bm a_{13}\\ a_{23}\\a_{33}\\0 \em, \a_4=\bm a_{14}\\ a_{24}\\a_{34}\\a_{44} \em$
å÷èåøéí á 
$\setR^4$ 
ëàùø 
$a_{11}, a_{22}, a_{33}, a_{44}\neq	 0$. 
äåëéçå ùäåå÷èåøéí îäååéí áñéñ ì 
$\setR^4$.

%\answer
%
%ðñãø àú äåå÷èåøéí äðúåðéí áîèøéöä:
%\[A=(\a_1,\a_2,\a_3,\a_4)=
%\bm a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\
% 0&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\
% 0&0&a_{33}&a_{34}\\
% 0&0&0&a_{44} \em.
%\]
%ëòú, 
%$\r(A)=4$
%ëé äî÷ãîéí 
%$a_{11}, a_{22}, a_{33}, a_{44}$ 
%ùåðéí îàôñ ìëï ëì àçã îåáéì åäîèøéöä îãåøâú. ìôé èòðä, ðåáò ù 
%$A\in \setR^{4\times 4}$
% äôéëä.
\end{enumerate}


	
\item 
éäé 
$(\setR^3, \setR)$ 
îøçá å÷èåøé òí äôòåìåú äøâéìåú åéäé 
$V=\{f\in \setR[x]\mid \deg f\leq 2\}$ 
îøçá äôåìéðåîéí îòì 
$\setR$ 
îîòìä ìëì äéåúø 
$2$.
ðâãéø ôåð÷öéä 
$T:\setR^3\to V$ 
òì éãé 	
$T\bm a\\b\\c \em=(a+c)x^2+(a-b)x+(b+c)$
ìëì 
$\bm a\\b\\c\em\in \setR^3$.

\begin{enumerate}
\item	
äåëéçå ù $T$ äòú÷ä ìéðàøéú.

%\answer
%
%éäéå
%$\u_1=\bm a_1\\b_1\\c_1\em, \u_2=\bm a_2\\b_2\\c_2\em\in \setR^3$
%åéäé 
%$\alpha\in \setR$. 
%àæé îú÷ééîéí 
%\begin{align*}T(\u_1+\u_2)&=T\bm a_1+a_2\\b_1+b_2\\c_1+c_2\em\\
%	&=(a_1+a_2+c_1+c_2)x^2+(a_1+a_2-b_1-b_2)x+(b_1+b_2+c_1+c_2)\\
%	&=(a_1+    c_1    )x^2+(a_1    -b_1    )x+b_1    +c_1+(a_2+    c_2    )x^2+(a_2    -b_2    )x+b_2    +c_2\\
%	&=T(\u_1)+T(\u_2)
%	\end{align*}
%	å 
%\begin{align*}T(\alpha \u_1)&=(\alpha a_1+   \alpha c_1    )x^2+(\alpha a_1    -\alpha b_1    )x+(\alpha b_1    +\alpha c_1    )\\
%	&=\alpha \Big(a_1+    c_1    )x^2+(a_1    -b_1    )x+b_1    +c_1\Big)\\
%	&=\alpha T(\u_1).
%\end{align*}
%ðåáò ëé 
%$T$ 
%äòú÷ä ìéðàøéú.

\item 
äøàå ëé 
$x^2+1\in \ip(T)$
åâí 
$-x+1\in \ip(T)$.

%\answer 
%
%ð÷ç 
%$a=b=1, c=0$ 
%åð÷áì 
%$T\bm 1\\1\\0 \em=(1+0)x^2+(1-1)x+1+0=x^2+1$ 
%ìëï 
%$x^2+1\in \ip(T)$.
%
%ð÷ç 
%$a=c=0, b=1$ 
%åð÷áì 
%$T\bm 0\\0\\1 \em=(0+0)x^2+(0-1)x+1+0=-x+1$ 
%ìëï 
%$-x+1\in \ip(T)$.


\item 
äåëéçå ëé 
$\dim (\ip(T))\geq 2$.

%\answer 
%
%áñòéó ä÷åãí øàéðå ëé 
%$x^2+1, -x+1\in \ip(T)$. 
%áøåø ùäí áú"ì ëé äîòìåú ùåðåú.
%îöã ùðé, 
%$\sp\{x^2+1, -x+1\}\subseteq \ip(T)$.
% ðåáò ëé 
%\[\dim (\ip(T))\geq \dim (\sp\{ x^2+1, -x+1 \})=2.\]

\item 
äøàå ëé 
$\bm 1\\1\\-1 \em\in \ker(T)$.


%\answer
%
%ðçùá 
%\[T\bm 1\\1\\-1 \em=(1-1)x^2+(1-1)x+1-1=0\]
%ìëï 
%$\bm 1\\1\\-1\em\in \ker T$.

\item 
äåëéçå ëé 
$\dim (\ker(T))\geq 1$.


%\answer
%
%ðåáò îäñòéó ä÷åãí ëé 
%$\sp\left\{ \bm 1\\1\\-1 \em \right\}\subseteq \ker T$
%ìëï 
%\[\dim(\ker T)\geq \dim \left(\sp\left\{ \bm 1\\1\\-1 \em \right\}\right)=1.\]

\item 
çùáå àú 
$\dim (\ker (T))$ 
åàú 
$\dim (\ip(T))$.


%\answer
%
%ìôé îùôè îú÷ééí 
%$\dim (\ker (T))+\dim (\ip(T))=\dim(\setR^3)=3$. 
%ìôé äñòéôéí ÷åãîéí 
%$\dim (\ker (T))\geq 1$ 
%å 
%$\dim (\ip(T))\geq 2$
%ìëï áäëøç 
%$\dim (\ker (T))= 1$ 
%å 
%$\dim (\ip(T))= 2$.

%\item 
%éäé 
%$B=\{x^2, x, 1\}$
%äáñéñ äñèðãøèé ùì 
%$V$.
%úäé  
%$A\in \setR^{3\times 3}$
%îèøéöä äî÷ééîú 
%$[T(\u)]_B=A\u$ 
%ìëì 
%$\u\in \setR^3$.
%\begin{enumerate}
%	\item 
%	îöàå àú 
%	$A$ 
%	áîôåøù.
% 
%%\answer
%%
%%ðëúåá 
%%$\u=\bm a\\b\\c \em$
%%åðçùá 
%%\[[T\u]_B=[(a+c)x^2+(a-b)x+(b+c)]_B=\bm a+c\\ a-b\\ b+c \em.\]
%%ðãøù ìîöåà îèøéöä 
%%$A$ 
%%ëê ù 
%%$A\u=A\bm a \\ b \\ c \em=\bm a+c\\ a-b\\ b+c \em$.
%%ðéúï ì÷çú 
%%\[A=\bm 1&0&1\\ 1&-1&0\\ 0&1&1 \em\]
%%ëé àæ 
%%\[A\bm a \\ b \\ c \em=\bm 1&0&1\\ 1&-1&0\\ 0&1&1 \em\bm a \\ b \\ c \em=\bm a+c\\ a-b\\ b+c \em.\]
%
%\item
%äøàå ëé 
%$\Nu(A)=\sp\left\{ \bm 1\\1\\-1 \em\right\}$.
%
%%\answer
%%
%%
%%ëòú, 
%%$\Nu(A)$ 
%%äåà àåñó äôúøåðåú ìîî"ì 
%%$A\x=\0$. 
%%ðôúåø: 
%%\begin{align*}
%%(A|\0)=\bse{ccc} 
%%1&0&1&0\\ 1&-1&0&0\\ 0&1&1&0 \ese &
%%\widesim{R_2\to R_2-R_1} 
%%\bse{ccc} 
%%1&0&1&0\\ 0&-1&-1&0\\ 0&1&1&0 \ese\\
%%&\widesim{R_3\to R_3+R_2} 
%%\bse{ccc} 
%%1&0&1&0\\ 0&-1&-1&0\\ 0&0&0&0 \ese
%%\widesim{R_2\to -R_2} 
%%\bse{ccc} 
%%1&0&1&0\\ 0&1&1&0\\ 0&0&0&0 \ese.
%%\end{align*}
%%
%%ðëúåá 
%%$c=t$ 
%%åàæ ð÷áì 
%%$a=b=-t$ 
%%ìëï éù ôúøåï ëììé 
%%$\bm a\\ b\\ c\em=\left\{ t\bm -1\\-1\\1 \em\mid t\in \setR \right\}$
%%ìëï 
%%\[\Nu(A)=\sp \left\{\bm -1\\-1\\1 \em\right\}=\sp \left\{\bm 1\\1\\-1 \em\right\}.\]
%
%\item 
%îöàå áñéñ ì 
%$\C(A)$.
%
%%\answer
%%
%%ìôé ääâãøä ùì îøçá òîåãåú
%%$\C(A)=\sp\left\{
%%\bm 1\\1\\0\em, \bm 0\\ -1\\ 1 \em, \bm 1\\0\\1 \em
%%\right\}.$
%%ëáø øàéðå ëé 
%%$\bm 1\\ 1\\ -1\em\in \Nu(A)$ 
%%ìëï 
%%\[\bm 0\\0\\0 \em=\bm 1&0&1\\ 1&-1&0\\ 0&1&1 \em\bm 1\\ 1\\ -1\em=1\bm 1\\1\\0\em+1\bm 0\\ -1\\ 1 \em+(-1)\bm 1\\0\\1 \em.\]
%%ìëï ðåëì ìëúåá àú äòîåãä äàçøåðä ëöéøåó ìéðàøé ùì äòîåãåú äàçøåú: 
%%\[\bm 1\\0\\1 \em=\bm 1\\1\\0\em+\bm 0\\ -1\\ 1 \em.\]
%%ðåáò ëé 
%%$\C(A)=\sp\left\{
%%\bm 1\\1\\0\em, \bm 0\\ -1\\ 1 \em, \bm 1\\0\\1 \em
%%\right\}=\sp\left\{
%%\bm 1\\1\\0\em, \bm 0\\ -1\\ 1 \em
%%\right\}.$
%%äåå÷èåøéí 
%%$\bm 1\\1\\0\em, \bm 0\\ -1\\ 1 \em$ 
%%äí áú"ì ëé äí àéðí î÷áéìéí ìëï äí îäååéí áñéñ ì 
%%$\C(A)$. 

%\end{enumerate}


\end{enumerate}


	\item 
	éäé 
	$\setF$ 
	ùãä. 
		\begin{enumerate}
		\item 
			äåëéçå ùàí 
			$A, B\in \setF^{n\times n}$ 
îèøéöåú ñéîèøéåú àæé
$AB$ 
ñéîèøéú àí åø÷ àí 
$AB=BA$.
		 

%\answer 
%
%ðúåï ù 
%$A, B$ 
%ñéîèøéåú ìëï 
%$A^T=A, B^T=B$. 
%ëòú, 
%$(AB)^T=B^TA^T=BA$. 
%ðéúï ìäñé÷ ëé 
%$AB$
%ñéîèøéú àí åø÷ àí 
%$(AB)^T=AB$ 
%àí åø÷ àí 
%$BA=AB$.		
		
		\item 
		äåëéçå ùàí 
		$A, B\in \setR^{3\times 3}$
		îèøéöåú ñéîèøéåú 
		ëê ù 
		$AB=\bm  2&0&0\\ 0&5&0\\ 0&0&-1 \em$
		àæé âí 
		$BA=\bm  2&0&0\\ 0&5&0\\ 0&0&-1 \em$.

%\answer
%
%äîèøéöä
%$AB=\bm  2&0&0\\ 0&5&0\\ 0&0&-1 \em$
%ñéîèøéú ëé äéà àìëñåðéú. ìôé äñòéó ä÷åãí ðåáò ëé 
%$BA=AB=\bm  2&0&0\\ 0&5&0\\ 0&0&-1 \em$.

\item 
úðå ãåâîä ìîèøéöåú 
$A, B\in \setR^{2\times 2}$
)ìà áäëøç ñéîèøéåú( ëê ù 
$AB$
ñéîèøéú å
${AB\neq BA}$.		

%\answer 
%
%ð÷ç 
%$A=\bm 1&1\\0&1 \em, B=\bm 1&0\\ 1&1 \em$.
%àæ
%$AB=\bm 1&1\\0&1 \em \bm 1&0\\ 1&1 \em=\bm 2&1\\1&1 \em$
%ñéîèøéú å 
%$BA=\bm 1&0\\ 1&1 \em \bm 1&1\\0&1 \em = \bm 1&1\\1&2 \em \neq AB$.

	\end{enumerate}

	\item \label{inverse-of-products}
	éäé 
	$\setF$
	ùãä åúäééðä 
	$A, B\in \setF^{n\times n}$
	îèøéöåú äôéëåú. 
	\begin{enumerate}
		\item 
		äåëéçå ù 
		$AB$ 
		äôéëä.

%\answer
%
%ìôé îùôè 
%$\det (AB)=\det A\det B$. 
%îëéååï ù 
%$A, B$ 
%äôéëåú îú÷ééí 
%$\det A, \det B\neq 0$. 
%ðåáò ëé 
%$\det (AB)\neq 0$ 
%ìëï 
%$AB$ 
%äôéëä.
		\item 
		äåëéçå ëé 
		$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$.
		
%\answer		
%		
%òì îðú ìäøàåú ëé 
%$B^{-1}A^{-1}$ 
%ääåôëéú ùì $AB$ àðå ðçùá: 
%\[ (AB)(B^{-1}A^{-1})= A(BB^{-1})A^{-1}=AIA^{-1}=AA^{-1}=I. \]		
%ìôé îùôè, îú÷ééí âí 
%$(B^{-1}A^{-1})(AB)=I$
%ìëï 
%$B^{-1}A^{-1}$
%àëï ääåôëéú ùì 
%$AB$.

\item 

àí 
$C\in \setF^{n\times n}$
âí äôéëä, îöàå ðåñçä
òáåø 
$(ABC)^{-1}$
ùáä îåôéòéí äîèøéöåú 
$A^{-1}, B^{-1}, C^{-1}$.

%\answer 
%
%ìôé äñòéó ä÷åãí îú÷ééí 
%$(ABC)^{-1}=((AB)C)^{-1}=C^{-1}(AB)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}$.
%		
		\item 		
		äåëéçå ù 
		$A^2$ 
		äôéëä.
		
%\answer 
%
%ðåáò éùéøåú îñòéó à' ëàùø 
%$B=A$
%ëé àæ
%$AB=A^2$.		
		
		\item
		äåëéçå ù
		$(A^2)^{-1}=(A^{-1})^2$.
		
%\answer	
%		
%		
%		ð÷ç 
%		$B=A$ 
%		åàæ ìôé ñòéó ùì äùàìä äðåëçéú á' ð÷áì
%		\[(A^2)^{-1}=(AA)^{-1}=(A^{-1})(A^{-1})=(A^{-1})^2.\]

		\item 
		àí 
		\[A=\bm -11&3&-4\\ -18&5&-7\\ 8&-2&3 \em, B=\bm 1&-1&1\\1&2&5\\ -2&4&1 \em\]
		çùáå àú 
		$AB$ 
		åàú 
		$B^{-1}A^{-1}$.
	îåîìõ ìäéòæø áñòéó á' áî÷åí ìçùá àú 
		$A^{-1}$ 
	åàú 
		$B^{-1}$ 
		áðôøã.
		
%\answer		
%		
%\[AB=\bm 0&1&0\\1&0&0\\0&0&1 \em.\]		
%ìôé ñòéó á' îú÷ééí 
%$B^{-1}A^{-1}=(AB)^{-1}=\bm 0&1&0\\1&0&0\\0&0&1 \em^{-1}$.	
%ðçùá àú ääåôëéú:
%\begin{align*}
%	\left(
%	\begin{array}{ccc|ccc}
%		0&1&0&1&0&0\\
%		1&0&0&0&1&0\\
%		0&0&1&0&0&1
%	\end{array} 	
%	\right) 	
%	&{\widesim{R_1\leftrightarrow R_2}}	
%	\left(
%	\begin{array}{ccc|ccc}
%1&0&0&0&1&0\\
%0&1&0&1&0&0\\
%0&0&1&0&0&1
%	\end{array} 	
%	\right).
%\end{align*}
%	ðåáò ëé 
%	$B^{-1}A^{-1}=\bm 0&1&0\\1&0&0\\0&0&1 \em^{-1}=\bm 0&1&0\\1&0&0\\0&0&1 \em$.
	
	\end{enumerate}	
	
	
	\item \label{eigen-of-inverse}
	éäé 
	$\setF$
	ùãä åúäé 
	$A\in \setF^{n\times n}$
	îèøéöä äôéëä. 
\begin{enumerate}
\item 
äåëéçå ùëì òøê òöîé ùì 
$A$ 
ùåðä îàôñ.

%\answer
%
%ðúåï ù 
%$A$ 
%äôéëä. ìëï, ìôé èòðä, 
%$\Nu(A)=\{\0\}$. 
%ðåáò ù 
%$A\x\neq \0$ 
%ìëì 
%$\x\neq \0$.
%ìëï ìà éúëï ù 
%$A\x=0\x$ 
%òáåø å÷èåø 
%$\x\neq \0$.
%ðåáò ù 
%$0$ 
%àéðå òøê òöîé ùì 
%$A$.



\item 
äåëéçå ùàí 
$\x$ 
å÷èåø òöîé ùì 
$A$ 
òí òøê òöîé 
$\lambda$ 
àæé 
$\x$ 
å÷èåø òöîé ùì 
$A^{-1}$
òí òøê òöîé 
$\frac{1}{\lambda}$.
ëàï 
$A^{-1}$ 
îñîï àú äîèøéöä ääåôëéú ùì $A$.

%\answer
%
%ìôé äðúåï îú÷ééí 
%$A\x=\lambda \x$. 
%ðëôéì àú ùðé äàâôéí á 
%$A^{-1}$ 
%åð÷áì 
%\[A^{-1}A\x=A^{-1}(\lambda \x)=\lambda A^{-1}\x.\]
%ëòú, ìôé ääâãøä ùì îèøéöä äåôëéú îú÷ééí 
%$A^{-1}A=I$ 
%ëàùø 
%$I$ 
%îèøéöú äéçéãä îñãø 
%$n\times n$.
%ðåáò ù 
%$A^{-1}A\x=I\x=\x$ 
%ìëï 
%$\x=\lambda A^{-1}\x$.
%ðéúï ìäñé÷ ëé 
%$A^{-1}\x=\frac{1}{\lambda}\x$
%ìëï 
%$\x$ 
%å÷èåø òöîé ùì 
%$A^{-1}$ 
%òí òøê òöîé 
%$\frac{1}{\lambda}$.

\item 
äåëéçå ùàí 
$\x$ 
å÷èåø òöîé ùì 
$A$ 
òí òøê òöîé 
$\lambda$ 
àæé 
$\x$ 
å÷èåø òöîé ùì 
$A^2$
òí òøê òöîé 
                    $\lambda^2$.

%\answer
%
%ìôé äðúåï 
%$A\x=\lambda\x$.
%ëòú,
%$A^2\x=AA\x=A\lambda \x=\lambda A\x=\lambda (\lambda \x)=\lambda^2\x$
%ìëï 
%$\x$ 
%å÷èåø òöîé ùì 
%$A^2$ 
%òí òøê òöîé 
%$\lambda^2$.


\end{enumerate}

\item 

	éäé 
	$\setF$
	ùãä åúäé 
	$A\in \setF^{n\times n}$
	îèøéöä äôéëä. 

\begin{enumerate}
	\item 
äåëéçå ëé 
$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$.	


%\answer
%
%ëãé ìáãå÷ äàí 
%$(A^{-1})^T$
%ääåôëéú ùì 
%$A^T$,
%ðçùá àú 
%$A^T(A^{-1})^T$. 
%ëòú, 
%\begin{align*}
%A^T(A^{-1})^T&=(A^{-1}A)^T\\
%&=I^T=I.
%\end{align*}
%ìôé îùôè ðåáò ùâí 
%$(A^{-1})^TA^T=I$.
%ìëï àëï 
%$(A^{-1})^T$
%ääåôëéú ùì 
%$A^T$.

	\item 
äåëéçå ùàí 
$A$ 
ñéîèøéú àæé âí 
$A^{-1}$
ñéîèøéú.

%\answer
%
%àí $A$ ñéîèøéú àæ 
%$A^T=A$. 
%ìôé ñòéó ä÷åãí ð÷áì 
%\[(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}=A^{-1}\]
%ìëï 
%$A^{-1}$
%ñéîèøéú.
\item 
àí 
\[A=\bm 3&0&5\\0&2&1\\5&1&9 \em\]
\begin{enumerate}
	\item
çùáå àú 
$A^{-1}$.

%\answer
%
%òì îðú ìçùá àú ääåëôéú ùì $A$ ðãøâ:
%
%\begin{align*}
%	\left(
%	\begin{array}{ccc|ccc}
%		3&0&5&1&0&0\\
%		0&2&1&0&1&0\\
%		5&1&9&0&0&1
%	\end{array} 	
%	\right) 	
%	&{\widesim{R_3\to 3R_3-5R_1}}	
%	\left(
%	\begin{array}{ccc|ccc}
%		3&0&5&1&0&0\\
%		0&2&1&0&1&0\\
%		0&3&2&-5&0&3
%	\end{array} 	
%	\right)\\[0.5em]
%	&{\widesim{R_3\to 2R_3-3R_2}}	
%	\left(
%	\begin{array}{ccc|ccc}
%		3&0&5&1&0&0\\
%		0&2&1&0&1&0\\
%		0&0&1&-10&-3&6
%	\end{array} 	
%	\right)\\[0.5em]
%		&{\widesim{R_1\to R_1-5R_2}}	
%		\left(
%		\begin{array}{ccc|ccc}
%			3&0&0&51&15&-30\\
%			0&2&1&0&1&0\\
%			0&0&1&-10&-3&6
%		\end{array} 	
%		\right)\\[0.5em]
%		&{\widesim{R_2\to R_2-R_3}}	
%		\left(
%		\begin{array}{ccc|ccc}
%			3&0&0&51&15&-30\\
%			0&2&0&10&4&-6\\
%			0&0&1&-10&-3&6
%		\end{array} 	
%		\right)\\[0.5em]
%		&{\widesim{R_1\to \frac{1}{3}R_1}}	
%		\left(
%		\begin{array}{ccc|ccc}
%			1&0&0&17&5&-10\\
%			0&2&0&10&4&-6\\
%			0&0&1&-10&-3&6
%		\end{array} 	
%		\right)\\[0.5em]				
%		&{\widesim{R_2\to \frac{1}{2}R_2}}	
%		\left(
%		\begin{array}{ccc|ccc}
%			1&0&0&17&5&-10\\
%			0&1&0&5&2&-3\\
%			0&0&1&-10&-3&6
%		\end{array} 	
%		\right)\\						
%\end{align*}
%ìëï 
%$A^{-1}=\bm
%17&5&-10\\
%5&2&-3\\
%-10&-3&6
%\em$.

\item 
çùáå àú 
$(A^2)^{-1}$.

%\answer
%
%ìôé ùàìä 
%\ref{inverse-of-products}
% ñòéó ä' îú÷ééí 
%$(A^2)^{-1}=(A^{-1})^2$.
%ìôé äñòéó ä÷åãí ð÷áì 
%\begin{align*}
%(A^2)^{-1}&=(A^{-1})^2\\
%&=A^{-1}A^{-1}\\
%&=\bm
%17&5&-10\\
%5&2&-3\\
%-10&-3&6
%\em\bm
%17&5&-10\\
%5&2&-3\\
%-10&-3&6
%\em\\
%&=\bm
%414&125&-245\\
%125&38&-74\\
%-245&-74&145
%\em
%\end{align*}

\end{enumerate}
\end{enumerate}



\textbf{úæëåøú:}
òáåø îèøéöä äôéëä
$\bm p&q\\ r&s \em$
 îñãø 
$2\times 2$
äîèøéöä ääåôëéú ðúåðä òì éãé 
\[\bm p&q\\ r&s \em^{-1}=\frac{1}{ps-qr}\bm s&-q\\ -r&p \em.\]

\item 

éäéå
	$a, b\in \setR$ 
	ëê ùîú÷ééí 
	$a^2-b^2=1$.
	ðâãéø îèøéöåú 
	\[C=\bm a&b\\ b&a \em, D=\bm a&b\\ a&b \em \in \setR^{2\times 2}.\]

\begin{enumerate}
	\item 
	äøàå ù $D$ àéðä äôéëä.

%\answer 
%
%\textbf{ùéèä 1:}	
%$\det D=ab-ba=0$ 
%ìëï $D$ àéðä äôéëä.
%
%\textbf{ùéèä 2:}
%äòîåãåú ùì $D$ î÷áéìåú ìëï äï úìåéåú ìéðàøéú. ðåáò ëé 
%$D$ 
%àéðä äôéëä.
%
%
%\textbf{ùéèä 3:}
%äùåøåú ùì $D$ æäåú ìëï 
%$\r (D)<2$ 
%)áòöí 
%$\r (D)=1$ 
%ëé 
%$a^2-b^2=1$ 
%ìëï 
%$(a, b)\neq (0,0)$.(
%ðåáò ëé 
%$D$ 
%àéðä äôéëä.
%
%\textbf{ùéèä 4:}
%$D\bm b\\-a \em=\bm 0\\0 \em$
%ìëï 
%$\bm b\\ -a\em\in \Nu(D)$.
%àáì 
%$\bm b\\-a \em\neq \bm 0\\0 \em$
%ëé 
%$a^2-b^2=1$.
%ðåáò ëé 
%$\Nu(D)\neq \{\0\}$ 
%ìëï 
%$D$ 
%àéðä äôéëä.
	
	\item 
	äøàå ëé 
	$C$ 
	äôéëä åîöàå àú äîèøéöä ääåôëéú 
	$C^{-1}$.
	
%\answer	
%	
%ðçùá: 
%$\det C=a^2-b^2=1\neq 0$ 
%ìëï 
%$C$ 
%äôéëä. ìôé èòðä ääåôëéú ðúåðä òì éãé 
%$C^{-1}=\frac{1}{\det C}\bm a&-b\\ -b&a \em=\bm a&-b\\ -b&a \em$.
	
	\item 
	îöàå àú ëì äòøëéí äòöîééí ùì 
	$C$
)éù ìëúåá àú äò"ò áàîöòåú äôøîèøéí
$a, b$.(	
	òáåø ëì òøê òöîé îöàå å÷èåø òöîé îúàéí.
	
%\textbf{ùéèä 1:}
%ìîèøéöä 
%$C$ 
%éù äøáä ñéîèøéä. áôøè, ñëåí äî÷ãîéí áëì ùåøä ùååä. ðåáò ù 
%$\bm 1\\ 1\em$ 
%å÷èåø òöîé ùì 
%$C$ 
%àí òøê òöîé 
%$a+b$:
%
%\[C\bm 1\\ 1\em=\bm a&b\\ b&a \em\bm 1\\1 \em=\bm a+b\\ a+b \em=(a+b)\bm 1\\1 \em.\]	
%áàåôï ãåîä, äôøù äî÷ãîéí áëì ùåøä ãåîä ìëï ðáãå÷ àú äåå÷èåø 
%$\bm 1\\ -1\em$:
%
%\[C\bm 1\\ -1\em=\bm a&b\\ b&a \em\bm 1\\-1 \em=\bm a-b\\ b-a \em=(a-b)\bm 1\\-1 \em.\]
%ìîèøéöä îñãø 
%$2\times 2$ 
%éù ìëì äéåúø ùðé ùåøùéí ìôåìéðåí äàåôééðé ìëï éù ìëì äéåúø ùðé òøëéí òöîééí. ðéúï ìäñé÷ ùîöàðå àú ëì äòøëéí äòöîééí ùì $C$.
%\textbf{ùéèä 2:}
%ðçùá àú äôåìéðåí äàåôééðé ùì $C$:
%\begin{align*}
%p_C(\lambda)&=\bd a-\lambda&b\\ b&a-\lambda \ed\\
%&=(a-\lambda)^2-b^2\\
%&=\lambda^2-2a\lambda+a^2-b^2\\
%&=(\lambda-(a+b))(\lambda-(a-b))	
%\end{align*}	
%ìëï éù òøëéí òöîééí 
%$a+b,\ \ a-b$.
%òì îðú ìîöåà å÷èåø òöîé òáåø òøê äòöîé 
%$a+b$ 
%ðîöà å÷èåø ìà àôñ á 
%$\Nu(A-(a+b)I)$:
%\begin{align*}
%(A-(a+b)I|\0)&=\bse{cc} -b&b&0\\ b&-b&0 \ese{\widesim{R_2\to R_2+R_1}}\bse{cc} -b&b&0\\ 0&0&0 \ese
%\end{align*}	
%àæ ðéúï ì÷çú å"ò
%$\v_1=\bm1\\1 \em$.\\
%
%òì îðú ìîöåà å÷èåø òöîé òáåø òøê äòöîé 
%$a-b$ 
%ðîöà å÷èåø ìà àôñ á 
%$\Nu(A-(a-b)I)$:
%\begin{align*}
%	(A-(a-b)I|\0)&=\bse{cc} b&b&0\\ b&b&0 \ese{\widesim{R_2\to R_2-R_1}}\bse{cc} b&b&0\\ 0&0&0 \ese
%\end{align*}	
%àæ ðéúï ì÷çú å"ò
%$\v_2=\bm1\\-1 \em$.
		\item 
		îöàå àú ëì äòøëéí äòöîééí ùì 
		$D$
		)éù ìëúåá àú äò"ò áàîöòåú äôøîèøéí
		$a, b$.(
		òáåø ëì òøê òöîé îöàå å÷èåø òöîé îúàéí.
		
%\textbf{ùéèä 1:}
%ëîå áñòéó ä÷åãí, ìîèøéöä 
%$D$ 
%éù äøáä ñéîèøéä. áôøè, ñëåí äî÷ãîéí áëì ùåøä ùååä. ðåáò ù 
%$\bm 1\\ 1\em$ 
%å÷èåø òöîé ùì 
%$D$ 
%àí òøê òöîé 
%$a+b$:
%
%\[D\bm 1\\ 1\em=\bm a&b\\ a&b \em\bm 1\\1 \em=\bm a+b\\ a+b \em=(a+b)\bm 1\\1 \em.\]	
%ëòú, ðéúï ìàôñ àú ùúé äùåøåú àí ðëôéì áåå÷èåø
%$\bm b\\ -a\em$
%ìëï äåà å÷èåø òöîé òí òøê òöîé 
%$0$:
%
%\[D\bm b\\ -a\em=\bm a&b\\ a&b \em\bm b\\-a \em=\bm ab-ba\\ ab-ba \em=\bm 0\\0 \em=0\bm b\\-a \em.\]
%ìîèøéöä îñãø 
%$2\times 2$ 
%éù ìëì äéåúø ùðé ùåøùéí ìôåìéðåí äàåôééðé ìëï éù ìëì äéåúø ùðé òøëéí òöîééí. ðéúï ìäñé÷ ùîöàðå àú ëì äòøëéí äòöîééí ùì $D$.
%\textbf{ùéèä 2:}
%ðçùá àú äôåìéðåí äàåôééðé ùì $D$:
%\begin{align*}
%	p_D(\lambda)&=\bd a-\lambda&b\\ a&b-\lambda \ed\\
%	&=(a-\lambda)(b-\lambda)-ab\\
%	&=\lambda^2-(a+b)\lambda\\
%	&=\lambda(\lambda-(a+b))
%\end{align*}	
%ìëï éù òøëéí òöîééí 
%$a+b,\ \ 0$.
%òì îðú ìîöåà å÷èåø òöîé òáåø òøê äòöîé 
%$a+b$ 
%ðîöà å÷èåø ìà àôñ á 
%$\Nu(A-(a+b)I)$:
%\begin{align*}
%	(A-(a+b)I|\0)&=\bse{cc} -b&b&0\\ a&-a&0 \ese{\widesim{}}\bse{cc} 1&-1&0\\ 0&0&0 \ese
%\end{align*}	
%îëéååï ù 
%$a^2-b^2=1$ 
%ìëï 
%$a\neq 0$ 
%àå 
%$b\neq 0$ 
%åäùåøåú î÷áéìåú.
%àæ ðéúï ì÷çú å"ò
%$\v_1=\bm1\\1 \em$.\\
%
%òì îðú ìîöåà å÷èåø òöîé òáåø òøê äòöîé 
%$0$ 
%ðîöà å÷èåø ìà àôñ á 
%${\Nu(A-(0)I)}$:
%\begin{align*}
%	(A-(0)I|\0)=(A|\0)&=\bse{cc} a&b&0\\ a&b&0 \ese{\widesim{R_2\to R_2-R_1}}\bse{cc} a&b&0\\ 0&0&0 \ese
%\end{align*}	
%àæ ðéúï ì÷çú å"ò
%$\v_2=\bm b\\-a \em$
%åäåà àéðå å÷èåø äàôñ ëé 
%$a\neq 0$ 
%àå 
%$b\neq 0$ 
%ëôé ùëáø öééðå.		
\item 
	äøàå ëé éù ì 
	$C$ 
	å 
	$C^{-1}$ 
	àåúí òøëéí òöîééí.
	
%	\answer
%	
%	ìôé ñòéó á' ùì äùàìä äðåëçéú äîèøéöä 
%	$C$ 
%	äôéëä.
%	ìôé ùàìä 
%	\ref{eigen-of-inverse}
%	ñòéó á' ìëì òøê òöîé 
%	$\lambda$ 
%	ùì $C$ éù ì
%	$C^{-1}$ 
%	éùðí òøëéí òöîééí 
%	 $\frac{1}{\lambda}$.
%	 ìôé ñòéó â' ùì äùàìä äðåëçéú äòøëéí äòöîééí ùì $C$ äí 
%	 $a+b,\ a-b$. 
%	 ðåáò ùäòøëéí äòöîééí ùì 
%	 $C^{-1}$ 
%	 äí 
%	 $\frac{1}{a+b}, \ \frac{1}{a-b}$.
%	 ðúåï ëé 
%	 $1=a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
%	 ìëï
%	 $\frac{1}{a+b}=a-b$
%	 å 
%	 $\frac{1}{a-b}=a+b$.
%	 ìëï ì 
%	 $C^{-1}$ 
%éù àåúí òøëéí òöîééí 
%	 $a+b, \ a-b$ 
%	 ëîå 
%	 $C$.
%	
	\item 
	úðå ãåâîä ìîèøéöä äôéëä $Y$ îñãø 
	$2\times 2$ 
	ëê ùäòøëéí òöîééí ùì 
	$Y$ 
	ùåðéí îäòøëéí äòöîééí ùì 
	$Y^{-1}$.
	
	
%	\answer
%	
%ð÷ç ìîùì
%$Y=\bm 2&0\\ 0&3 \em$
%åàæ 
%$Y^{-1}=\bm \frac{1}{2}&0\\ 0&\frac{1}{3} \em$.
%äòøëéí äòöîééí ùì 
%$Y$ 
%äí 
%$2, 3$
%)ðéúï ì÷çú ìîùì å÷èåøéí òöîééí 
%$\bm 1\\ 0\em, \bm 0\\ 1\em$.(
%áàåôï ãåîä, ÷ì ìøàåú ùäòøëéí äòöîééí ùì 
%$Y^{-1}$ 
%äí 
%$\frac{1}{2}, \frac{1}{3}$. 
%ìëï ì 
%$Y, Y^{-1}$
%éù òøëéí òöîééí ùåðéí.
	
\end{enumerate}

\item 
ðâãéø ÷áåöú îèøéöåú òì éãé 
\[\S=\left\{ \bm a&-b\\ b&a  \em\mid a,b\in \setR, a^2+b^2=1 \right\}.\]
\begin{enumerate}
	\item 
	äøàå ùëì îèøéöä á 
	$\S$ 
	äôéëä.
	
%	\answer 
%	
%àí 
%$A=\bm a&-b\\ b&a\em\in \S$ 
%àæ 
%$\det A=a^2-(-b^2)=a^2+b^2=1\neq 0$ 
%ìëï 
%$A$ 
%äôéëä.

	\item 
	äåëéçå ùìëì 
	$A\in \S$ 
	îú÷ééí 
	$A^{-1}\in \S$.
	
%\answer	
%	
%àí 
%$A=\bm a&-b\\ b&a\em\in \S$ 	
%	àæ ìôé èòðä îú÷ééí 
%\[A^{-1}=\frac{1}{\det A}\bm a&b\\ -b&a \em=\frac{1}{a^2+b^2}\bm a&b\\ -b&a \em=\frac{1}{1}\bm a&b\\ -b&a \em=\bm a&-(-b)\\ b&a \em\in \S\]
%)äúðàé 
%$a^2+b^2=1$
%òãééï îú÷ééí.(	
	
	\item 
	äåëéçå ùìëì 
	$A, B\in \S$
	îú÷ééí 
	$AB\in \S$.
	
%\answer
%
%úééðä 
%	$A=
%	\bm a&-b\\ b&a \em, B=
%	\bm c&-d\\ d&c \em.
%	$
%	
%	
%	ëòú, 
%	\begin{align*}
%	AB&=\bm a&-b\\ b&a \em
%	\bm c&-d\\ d&c \em=\bm ac-bd&-ad-bc \\bc+ad&ac-bd  \em	
%	\end{align*}
	
	\item 
	îöàå ëì äôúøåðåú ìîùååàä 
	$A^2=\bm 1&0\\ 0&1 \em$
	ëàùø 
	$A\in \S$.
	
%\answer 
%
%ð÷ç 
%$a=-1, b=0$ 
%åð÷áì 	
%	$A=\bm a&-b\\b&a \em=\bm -1&0\\0&-1 \em$.
%	îëàï ð÷áì 
%	\[A^2=\bm -1&0\\0&-1 \em^2=\bm -1&0\\0&-1 \em\bm -1&0\\0&-1 \em=\bm 1&0\\0&1 \em\]
%	
\end{enumerate}

%\item 
%
%\begin{enumerate}
%	\item 
%	\item 
%\end{enumerate}




%\item 
%
%\begin{enumerate}
%	\item 
%	\item 
%\end{enumerate}





\end{enumerate}



\textbf{äåøàåú:}

\begin{itemize}
	\item
îèìä æå àéðä ìäâùä.
	\item 
ôúøåðåú éôåøñîå ìëì äîàåçø á 11 áéåìé.

\end{itemize}













\end{document}